介绍
近年来，多移动机器人的编队控制引起了人们的广泛关注。在此背景下，编队作为汽车、飞机等高效的交通工具之一，可以成为比单一机器人带来更高效工作成果的系统。1 – 4基于反应行为的方法，5 – 7多智能体系统方法，8 – 11虚拟结构方法，12、13和领导者-跟随者（LF）方法14 – 18是众所周知的实现编队控制的控制方法。本文是对移动机器人LF方法的研究。在该方法中，多个移动机器人被分为领导者和跟随者。领导者的目标是领导追随者的舰队，追随者的目标是与领导者保持指定的相对位置关系。因此，LF方法要研究的问题基本上是为从动件设计控制系统。

作者利用真实的移动机器人，研究了基于LF方法的编队控制的几个问题；自主分散控制法、避障和形状转换。19 – 23控制系统设计基于反馈线性化。24 , 25在检查移动机器人的实际运行状态时给出了控制律的参数。自分散控制法19 , 21由相关国家建造；即跟随器测量的相对距离和相对角度，相对状态包括测量误差。幸运的是，设计的控制律是可以接受的，在进行上述实验时没有遇到麻烦。然而，LF方法的控制系统在相对状态方面是一个非线性系统，相对状态误差可能会影响闭环系统的稳定性和控制性能。LF方法是众所周知的控制方法之一，不仅适用于移动机器人，而且适用于多旋翼飞行器等UMV/UAV编队控制。26 – 28然而，针对相对状态误差的鲁棒性研究却很少。因此，值得验证 LF 方法的稳健性。

本文讨论了使用 LF 方法的移动机器人编队控制的鲁棒性。首先，明确了本文考虑的编队控制问题设置。由于LF方法处理移动机器人的运动学，受控系统的不确定性是包含在相对状态中的测量误差。本文根据李亚普诺夫稳定性理论推导了稳定性条件29 , 30对于含有控制律的相对状态误差的闭环系统。队形控制的稳态偏差是在保证稳定性的情况下呈现的。还推导了其近似表示。编队控制环境在Simulink上构建。通过数值模拟证明了稳定性条件和稳态偏差的有效性。通过这些分析和仿真，本文从理论角度提供了LF方法的有效性和鲁棒性。

移动机器人的领导者-跟随者方法
问题陈述
让我们考虑一个具有非完整约束的移动机器人。

定理2给出了局部渐近稳定闭环系统(17)的条件之一，定理3以不等式的形式表达了该条件。一般来说，李亚普诺夫稳定性理论代表了一个充分条件，因此即使不满足这些条件，它也可能是稳定的。考虑到这一点，如果相对状态从给定的初始位置收敛到平衡点，我们也将闭环系统（17）称为形成稳定。因此，定理 3 中提出的条件足以形成稳定。
队形控制的稳态偏差
本节介绍包含相对状态误差e f时的稳态偏差评估。由于先导轨迹是根据（M-3）和（M-4）给出的，因此本文处理e f和d u恒定的情况。
地层稳态偏差（FSSD）
在编队控制中，定义了以下偏差。

作为简单的设置，引导轨迹由x轴上的匀速直线（以下简称“线”）给出。编队形状由三角形给出。对于移动机器人的初始位置，L放置在原点并面向x>  0的方向。F 1和F 2放置在适当的坐标和方向上。F 1和F 2的线性输入增益相同。假设相对状态误差ε d和ε γ仅在上述指定范围内添加到F 1中。因此， F 1的控制律为式(14)，F 2的控制律为式(9)。由于F 2始终形成稳定且FSSD始终为零，因此下面所示的模拟结果将是F 1的稳定性和FSSD 。此外，由于这里的模拟是为了检查鲁棒性，因此没有施加控制输入的约束。形成区域
设定在移动机器人视为一个点的范围内。相对距离的上限和下限没有规定。相对角度的奇异点不包含在
。
地层稳定性
表1总结了当F 1控制律中包含恒定相对状态误差ε d和ε γ时的地层稳定性。在这些表中，“S”表示形成稳定，“Un”表示不稳定。检查的相对状态误差相当于参考相对状态的 10% 到 70%。然而，闭环系统对于大范围的相对状态误差是稳定的。

地层稳定性方面的6个典型案例的详细信息。“条件。定理3的条件”显示了定理3的条件，其中式(20b)中的c g通过以下两种情况进行检验；1：c g = max(|| g ( z; d u )||/|| z ||)（常数）和 2：c g = || g ( z; d u )||/|| z || （有所不同）。“⊙”表示在整个模拟时间范围内满足(PD-1)或(PD-2)，“    
”表示部分满足，“×”表示整个模拟时间范围内不满足。另外， A cl的特征值之一的a ( z )的符号如下所示。“>0”/“<0”：整个模拟时间范围内的正/负，“>*0”：部分中的正。图2至图4显示了案例A、C和E的时间历程。“轨迹”显示了L、F 1和F 2的轨迹。在图2和图3中，“定理3的条件”是定理3的(PD-1)和(PD-2)的时间历程，其中“Qt1”是(PD-1)中的第三个方程，“Qt2”是(PD-1)中的第二个方程(PD-2)，其中不平等在负数时成立。另外，引入了“sat-flag”来判断（PD-1）或（PD-2）是否满足；也就是说，sat-flag = 1：满足，0：不满足。

由于该模拟中的先导轨迹是直线，因此方程（53）给出的近似1与方程（51）一致。表3显示了由等式(51)和(56)给出的虚拟FSSD的范围(近似2)。可以看出，近似2在“相对状态误差较小”的区域是可以接受的。

进一步的模拟
为了增强稳定条件和编队稳态偏差的有效性（在“具有相对状态误差的稳定条件”和“编队控制中的稳态偏差”部分中进行了描述），本节介绍了以下附加模拟：轨迹（以下简称正弦曲线）和五跟随器形成。

正弦波形成
图 6至图 8显示了正弦曲线形成的时间历程，其中相对误差由表 2中的情况 A、C 和 E 给出。如图所示，案例A和C是形成稳定的，但案例E是不稳定的。图 6至8所示的结果与图 2至4中的结果大致相似，其中先导轨迹由直线给出。因此，如“地层稳定性”一节所述，定理3的条件、平衡状态和相对角初始值与地层稳定性密切相关。

从进一步的模拟得出结论，“具有相对状态误差的稳定条件”和“编队控制中的稳态偏差”章节中描述的稳定条件和FSSD对于弯曲先导轨迹和增加跟随者也是有效的。

结束语
本文提出了使用 LF 方法的移动机器人编队控制的鲁棒性。考虑的不确定性是相对状态误差，包含在相对状态中。利用李雅普诺夫稳定性理论（直接法）推导了针对相对状态误差的鲁棒稳定条件。我们还得到了保证编队稳定性时的编队稳态偏差（FSSD）。编队控制环境在Simulink上构建。通过数值模拟验证了稳定性条件和FSSD的有效性。因此，可以看出，即使相对状态误差较大，闭环系统也能形成稳定；也就是说，LF方法提供了针对相对状态误差的鲁棒控制律。另一方面，对于 FSSD，所得出的近似值的有效性在相对状态误差较小的区域中得到了证明。这些结果与领导者轨迹弯曲且追随者数量增加所获得的结果类似。然而，尽管地层稳定，但在某些情况下仍会出现较大的FSSD。在实际应用中应避免这些情况。需要一些技术来减少大型 FSSD。

本文获得的知识从理论角度阐明了LF方法具有鲁棒性的特点，可以说我们展示了使用LF方法进行编队控制的优越性。本文考虑了一位领导者和一位追随者的关系。当LF方法中跟随者的数量增加时，通过不断构建领导者和跟随者的关系来发展队形，并且在分散控制方法中将控制律安装在每个跟随者上。因此，本文提出的鲁棒稳定性和FSSD对于领导者和跟随者的每种关系都是有效的。这在进一步的模拟中得到了证明。
由于本文的仿真是在相对状态误差恒定的情况下进行的检验，因此需要通过改变相对状态误差来获得更足够的知识。此外，对于 LF 方法的实际应用，似乎有必要研究 FSSD 上的约简技术。这些都是未来的研究课题。