1 简介
强度-持续时间-频率（IDF）（或深度-持续时间-频率，DDF）曲线通常用于估计观测到的降雨事件的频率（或重现期），并设计给定频率的合成降雨事件，用于水文、水力和水资源系统项目及其分析和验证。IDF曲线是通过对降雨观测的频率分析而获得的，描述了降雨强度（或降雨深度）、降雨持续时间及其超标概率之间的关系。在小流域水文学和城市水文学中，描述短期高强度降雨事件的能力至关重要（例如 Grimaldi 和 Petroselli）引文2015年，帕拉和格内科引文2021）。事实上，这些流域的水文响应通常是脉冲式的，并且在次小时内就会耗尽（例如 Haddad 和 Rahman引文2014 年，博纳科索等人。引文2020）。

文献中已经提出了几种 IDF 分析和经验公式（例如 Bell引文1969年,陈引文1983 年，阿伦等人。引文1987 年，迪巴尔达萨尔等人。引文2006）并参考单一地点和水文均质区域使用（例如 Paixao等， 2006） 。引文2011，戴达等人。引文2021）。不幸的是，过去一个世纪很少有短期降雨观测。因此，次小时数据系列的长度通常比 1-24 小时的标准间隔要短得多（例如 García-Bartual 和 Schneider引文2001 年，福尔等人。引文2021）并且不足以获得可靠的统计分析（例如 Aronica 和 Freni引文2005年，范德维弗和德马雷引文2010）。为了克服这些限制，一些作者引入了尺度不变性的假设（例如 Menabde等人，2017）。引文1999年，阿罗妮卡和弗雷妮引文2005 年，博纳科索等人。引文2020）来估计短期极端降雨的分布。然而，即使是尺度不变性假设也是一个有争议的问题。事实上，事实证明，它常常与短期极端降雨的统计行为不一致。马拉尼 (引文例如， 2003）表明，相对于较长持续时间观测到的降雨数据，当涉及较短持续时间时，降雨数据的方差下降得更快。

因此，与标准的 1-24 小时间隔相比，当涉及短期风暴时，IDF 曲线的描述变得越来越复杂。特别是，在处理每小时以下的持续时间时，估计变得不可靠。在地中海等地区，问题变得更加明显，那里的最高强度是由强对流单体产生的，产生超过 300 毫米/小时的峰值（García-Bartual 和 Schneider）引文2001）。

从上述框架可以看出，在涉及小型或城市流域的工程实际应用中，IDF 曲线通常外推到低于用于参数校准的持续时间范围。众所周知，这样的过程会放大估计误差，预计其大小还取决于所采用的 IDF 模型的形式。因此，在每小时持续时间领域，特别是在小流域水文学和城市水文学中，选择最合适的 IDF 形式成为一个相关问题。事实上，该方程用于设计风暴的分析描述，并且导出的流量峰值和形状受到 IDF 选择的强烈影响（García-Bartual 和 Schneider引文2001）。

本研究的主要目标是为 IDF 方程定义一种合适的形式，以便能够更好地拟合从超小时到亚小时持续时间的过渡过程中的降雨量缩放情况。考虑到超小时持续时间范围内可用降雨数据系列的长度与次小时持续时间范围内的显着差异，拟议的 IDF 公式旨在认识到超小时数据系列的价值和需求包括每小时持续时间的年度最大降雨量观测结果，尽管数量有限。所提出的方法（包括这两个功能）被证明有助于提高 IDF 曲线在整个持续时间范围内的可靠性，并明确强调短持续时间。

四个 IDF 方程（一个幂律公式和三个以幂律偏差（或曲率）为特征的不同公式）的性能在意大利北部利古里亚地区观测到的降雨数据的有限历史数据库中进行了检查。最后，参考执行的校准（i）仅使用涉及超每小时持续时间的数据或（ii）使用参考数据来测试和讨论不同 IDF 曲线估计持续时间短于一小时的设计风暴深度的能力。到所有持续时间。

2 方法论
目前的研究重点是简单的 IDF 公式，这些公式在实践中使用最多，系数不超过三个，以限制过度参数化效应（Di Baldassarre等人，2017）。引文2006）。根据尺度不变性理论提出了两条IDF曲线。它们的特点是超小时间隔的幂律公式加上亚小时间隔的幂律偏差。尺度不变性理论意味着不同时间尺度（持续时间）的极端降雨过程的统计特性通过仅涉及尺度比的尺度变化算子是自相关的（Burlando 和 Rosso）引文1996，梅纳布德等人。引文1999）。所提出的公式最初是使用与选定的超级每小时和次每小时持续时间相关的年度最大数据进行校准的，尽管它们的特征在于不同的数据系列长度。

将所提出的公式与传统分位数回归程序的结果进行比较（例如 Singh引文1992 年，Chow等人。引文1998）根据该方法，通过对超小时持续时间可用的年度最大深度的直接统计分析得出的分位数进行拟合，获得选定回报期的 IDF 曲线。

2.1 降雨量数据集
研究区域包括意大利北部利古里亚行政区。利古里亚地区的领土特点是流域“小”，意大利测得的流域面积中位数为 200 km 2（Giannoni等人，2007）。引文2000年），响应时间通常不到一小时。因此，利古里亚地区构成了该国的一个重要研究案例。极端降雨数据库由经过验证的年度最大降水序列组成，其持续时间等于 5、10、20、30、40 和 50 分钟（每小时持续时间）和 1、3、6、12 和 24 小时（超强降雨持续时间）。每小时或规范持续时间）。这些数据是从 1930 年至 2018 年期间利古里亚地区环境保护局 (ARPAL) 的雨量计网络获得的。如果特定年份观测数据的百分比大于 90%，则认为年度最大值有效；此外，每次观测到的降雨强度都是通过与一分钟时间分辨率（即仪器分辨率）的参考降雨强度进行比较来验证的。等人。引文2011）。降雨数据涵盖两组时间尺度，所收集降雨数据的时间分辨率不同：N个超小时数据系列长度，对应于规范持续时间内可获得年度最大降雨深度的整个观测周期; N次小时数据系列长度，对应于短期内也可获得年最大降雨深度的观测周期，因此对应于降雨数据的更精细的时间分辨率。

为了最大限度地增加可用次小时数据的数量和系列长度，该研究考虑了 13 个雨量站，每个雨量站都拥有至少 15 年的完整次小时持续时间数据和至少 24 年的完整超小时数据。所选数据集对每小时以下持续时间进行了 202 年的观察（总共 1212 个数据点），对规范持续时间进行了 722 年的观察（总共 3610 个数据点）。表格1报告雨量站年度最大值系列在超小时（N super-hourly）和亚小时（N sub-hourly）持续时间观测总年数方面的一致性。请注意，N 个超小时数据序列长度对应于完整序列，而 N 个亚小时数据序列长度是 N 个超小时数据序列的子集。规范数据的长度平均值为 55 年，而亚小时数据的平均值则降至明显较低的值 15.5 年。选定的雨量站分布在整个区域，如图所示图。1。

2.2 IDF曲线的制定
在本研究中，提出并研究了两种 IDF 曲线公式（其特征是超小时间隔的幂律加上亚小时间隔中幂律的偏差（或曲率）），以最大化两者的总体信息贡献亚小时和超小时域。请注意，为了最大化整体信息，所提出的 IDF 公式应该结合亚小时（N sub-hourly）和超每小时（N super-hourly）数据序列的不同时间序列一致性。所提出的公式是根据尺度不变性假设定义的。

出于比较目的，主要在意大利使用的另外两种 IDF 配方（例如 Burlando 和 Rosso）引文1996，迪巴尔达萨尔等人。引文2006），进一步介绍。这些称为 IDF1 和 IDF2 的公式是在没有尺度不变性假设的情况下，仅通过参考规范持续时间的分位数导出的，并分别用简单的幂律和幂律的偏差（或曲率）来表征。

可靠性指标根据Di Baldassarre等人提出的拟合优度度量进行评估。（引文2006）。最后，可靠性分析仅限于 20 年的重现期，因为次小时数据序列的平均长度（N次小时）不允许我们适当地直接估计更高的重现期。

3。结果与讨论
3.1 基于超小时数据的IDF曲线标定
IDF1 和 IDF2 曲线的参数估计过程根据 Singh 描述的传统回归过程分三步进行（引文1992年）。该过程的第一步包括将 GEV 概率函数拟合到 1、3、6、12 和 24 小时的特定规范持续时间的每组年度最大值（从而考虑 15 个参数）。在第二步中，使用第一步拟合的 GEV 函数计算每个典型持续时间和一组重现期（即 5 年、10 年和 20 年）的降雨强度（经验分位数）。最后，在第三步中，对于每个选定的返回周期，绘制经验分位数值与相应持续时间的关系，并通过二元最小二乘法将曲线拟合到经验分位数上来评估 IDF1 和 IDF2 参数。此外，应该注意的是，任意两个重现期的 IDF 曲线不得相交，因此参数组，等人。引文1998）。

3.3 IDF曲线可靠性
通过比较 13 个选定雨量计评估的可靠性指标（相对误差、均方根误差和平均均方根误差），分析了 4 条 IDF 曲线的可靠性。

图4下图展示了 10 年重现期评估的不同 IDF 方程的相对误差值之间的比较。结果绘制在图4证实IDF1曲线的相对误差随着降雨持续时间的增加呈下降趋势。在所有持续时间中都观察到高估的趋势：特别是，在 5 和 10 分钟的较短持续时间内观察到较大的相对误差，正如幂律公式所预期的那样。尽管在亚小时域中具有相似的分析形式，IDF2、IDF3 和 IDF4 却揭示了不同的行为：IDF2 曲线是唯一低估经验分位数的曲线，至少在 7 小时内的 5 分钟和 10 分钟的较短持续时间内。 13 雨量计，而与 IDF3 和 IDF4 相关的相对误差通常较低，并且在整个每小时持续时间范围内相当恒定。另一方面，

所有 13 个选定雨量计相对于六个选定的每小时持续时间评估的相对误差值的非参数分布；相对误差值是指10年重现期。图5提供不同 IDF 曲线性能的整体图形比较。特别是，很明显，所提出的 IDF3 和 IDF4 公式揭示了有限的相对误差，平均值在 0.02 ÷ 0.10 范围内，并且在整个调查的每小时持续时间内方差减少。对于 IDF2，虽然平均值限制在 -0.05 ÷ 0 范围内，但变化范围主要针对最短持续时间 5 和 10 分钟，四分位距分别约为 0.43 和 0.30 。与三参数公式相比，IDF1 曲线显示，即使四分位距一般不超过 0.20，随着持续时间的缩短（平均值在 0.02 ÷ 0.40 范围内），相对误差也会显着增加。

图6报告了不同的 IDF 方程，以及针对 13 个选定雨量计评估的 6 个选定降雨持续时间的经验分位数。IDF曲线和经验分位数指的是10年回报期。图6证实了报告中的结果图5：IDF3 和 IDF4 曲线（图中的红线图6）主要针对最短持续时间适当地再现经验分位数。正如上一段已经讨论过的（参见图2和图3），IDF3 和 IDF4 曲线的不同主要在于 Crocetta 和 Triora 测量站的持续时间非常短（五分钟以下），其中校准阶段意味着曲率变化时间（B 值）的相反行为，因此渐近降雨强度差异显着（Unknown node type: fontUnknown node type: font
值）。着眼于不同的关注点，应该指出的是，Rocchetta 和 Triora 测量站的 IDF2 曲线在幂律公式中退化（参见表3）。

针对 13 个选定雨量计的 5 年、10 年和 20 年重现期评估的不同 IDF 方程的 RMSE 值的比较。请注意，与每个估计 RMSE 相关的标准偏差是根据六个持续时间残差的绝对值进行评估的。

结果绘制在图7证实了所有四个研究的 IDF 曲线的 RMSE 随回报期增加而增加的趋势：特别是，通常在 20 年回报期观察到最大 RMSE 值。IDF4、IDF3和IDF2曲线的RMSE值普遍低于IDF1曲线，从而证实了曲率在描述短持续时间降雨强度方面的作用。然而，检查每个关注点后，RMSE 分析并不能明确支持选择独特的 IDF 配方。基于尺度不变性假设，IDF3和IDF4曲线的可靠性受到增长频率因子估计的影响：例如，在Monte Cappellino、Imperia和Tavarone，采用的频率因子往往与实际的不同针对每个亚小时持续时间进行评估，因此，IDF3 和 IDF4 曲线的 RMSE 值大于 IDF2 的相应值。相反，当所采用的频率因子与针对每个单个子小时持续时间评估的趋势相匹配时，IDF3和IDF4曲线的RMSE值小于IDF2的相应值，从而证实了子小时持续时间的作用- 校准阶段的每小时数据。

针对 5 年、10 年和 20 年回报期评估的不同 IDF 方程的平均 RMSE 值的比较。请注意，每个平均 RMSE 的标准偏差是根据 6 个持续时间和 13 个雨量站的残差绝对值来评估的。结果证实了平均 RMSE 随着重现期的增加趋势，正如在图7; 此外，可以清楚地看出，与类似分析形式（偏离幂律的公式）所规定的 IDF1 曲线相比，IDF2、IDF3 和 IDF4 曲线具有较小的指数误差。

通过全局分析如图所示图8，可靠性指标确认 IDF3 以及主要是 IDF4 公式是最适合 10 年重现期数据的曲线。事实上，IDF3 和 IDF4 曲线的特定校准程序使我们能够考虑每小时以下和典型数据系列的不同长度，并最终考虑每小时以下和超级每小时数据的不同行为/趋势。

4。结论
这项研究概述了用于确定 IDF 方程的合适形式的公式和校准程序，以描述单个位置的亚小时域。在建议的 IDF 公式中研究了降雨尺度范围的转变，同时在原始校准程序中实现了短期数据的可用性。所提出的方法源于风暴事件的简单标度特性，它为相应的复杂基础物理过程提供了基于物理的框架，并提供了更灵活的 IDF 曲线，适用于小流域水文学和城市水文学应用。

结果表明，以短持续时间曲率为特征的 IDF 公式仅允许较小的指数误差，并且 IDF3 和 IDF4 的原始校准程序改进了长达 10 年重现期的降雨量分位数的估计。研究结果与之前关于短时降雨的研究一致（例如 Di Baldassarre等人，2014）。引文2006 年，莫塔赫丁等人。引文2023）并从理论和经验的角度扩大了有关IDF校准的方法分析（Fauer等， 2023） 。引文2021）。

在未来的研究中，所提出的方法将扩展到更多的地点，从而更好地利用区域范围内的可用信息，从而提高对所涉及过程的理解。